無限の話

われわれの頭は有限だが、有限の状況でさえ、無限の可能性に取りまかれており、生命の目標は、この無限からできるだけ多くのものをつかむことだ。

アルフレッド・ノース・ホワイトヘッド
無限の話、p.151

無限の話

無限っておっきい数ってイメージしかなかったけど不思議な性質がいっぱいある。面白い例を2つほど。

例1

S = 1 - 1 + 1 - 1 + 1 - 1 + 1 - ...

というように+1と-1が交互に無限に続く場合、Sの値はいくらでしょう？答えは0または1または1/2。括弧のくくり方によって答えが変わってしまう。

S = (1-1) + (1-1) + (1-1) + ... = 0 + 0 + 0 + ... = 0
S = 1 + (-1+1) + (-1+1) + (-1+1) + ... = 1 + 0 + 0 + 0 + ... = 1
S = 1 - (1-1+1-1+1-...) = 1 - S  よって 2S = 1となり S = 1/2

例2

あともう1つコッホ曲線っていうのがすごい。無限の長さの線分で有限の面積を囲めてしまう。下に動画がある。角は無限に生やせるので図形の周りの線分は無限に長くできるが線分で囲まれる面積は有限になるらしい。

コッホ曲線
http://gakuen.gifu-net.ed.jp/~contents/museum/frac/snowflake.html

なんかだまされてる感じ。